Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 240
i

Най­ди­те сумму всех трех­знач­ных чисел, ко­то­рые при де­ле­нии на 4 и на 6 дают в остат­ке 1, а при де­ле­нии на 9 дают в остат­ке 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из усло­вия, что число при де­ле­нии на 4 дает в остат­ке 1 имеем: A = 4x плюс 1.

Из усло­вия, что число при де­ле­нии на 6 дает в остат­ке 1 имеем: B = 6y плюс 1.

Из усло­вия, что число при де­ле­нии на 9 дает в остат­ке 4 имеем: C = 9z плюс 4.

Сле­до­ва­тель­но,

4x плюс 1 = 6y плюс 1 рав­но­силь­но 6y минус 4x = 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y = 2t плюс 2, x = 3t плюс 3, конец си­сте­мы . t при­над­ле­жит Z ,

от­ку­да A = B = 12t плюс 13. От­сю­да:

12t плюс 13 = 9z плюс 4 рав­но­силь­но 9z минус 12t = 9 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний z = 4h плюс 1, t = 3h, конец си­сте­мы . h при­над­ле­жит Z ,

то есть A = B = C = 13 плюс 36h.

Числа трех­знач­ные, по­это­му можно со­ста­вить не­ра­вен­ства:

13 плюс 36h боль­ше или равно 100 рав­но­силь­но h боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 87, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби \underset h при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но h боль­ше или равно 3,

13 плюс 36h мень­ше или равно 999 рав­но­силь­но h \leqslant98636 \underset h при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но h мень­ше или равно 27.

Таким об­ра­зом, сумма всех воз­мож­ных чисел равна

13 плюс 36 умно­жить на 3 плюс \ldots плюс 36 умно­жить на 27 = 13 умно­жить на 25 плюс 36 левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 4 плюс \ldots плюс 27 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 13 умно­жить на 25 плюс 36 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 25 = 325 плюс 13 500 = 13 825.

Ответ: 13 825.


Аналоги к заданию № 240: 810 840 870 ... Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2015
Сложность: V
Классификатор алгебры: 2\.7\. Дру­гие за­да­чи о чис­лах
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026